1. Menemukan Konsep Nilai Mutlak
Kegiatan pramuka adalah salah satu kegiatan ekstrakurikuler yang diadakan di sebuah sekolah. Sebuah grup pramuka sedang belajar baris berbaris di lapangan sekolah pada hari Sabtu. Sebuah perintah dari pimpinan pasukan: “Maju 4 langkah, jalan!”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 4 langkah ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur
3 langkah, jalan!”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak melawan arah sejauh 3 langkah. Demikian seterusnya. Besar pergerakan langkah pasukan tersebut merupakan nilai mutlak, tidak ditentukan arah. “Maju 4 langkah”, berarti mutlak 4 langkah dari posisi diam dan “mundur 3 langkah, berarti mutlak 3 langkah dari posisi diam. Dalam hal ini, yang dilihat adalah nilainya, bukan arahnya. Lebih jelasnya, mari bersama-sama mempelajari kasus-kasus di bawah ini.
CONTOH:
Seorang anak bermain lompat-lompatan di lapangan. Dari posisi diam, si anak
melompat ke depan 2 langkah, kemudian 3 langkah ke belakang, dilanjutkan
2 langkah ke depan, kemudian 1 langkah ke belakang, dan akhirnya 1 langkah
ke belakang.
Permasalahan:
a. Dapatkah kamu membuat sketsa lompatan anak tersebut?
b. Tentukanlah berapa langkah posisi akhir anak tersebut dari posisi semula!
c. Tentukanlah berapa langkah yang dijalani anak tersebut!
Alternatif Penyelesaian:
Kita definisikan lompatsaiaan ke depan adalah searah dengan sumbu x positif, dengan
demikian lompatan ke belakang adalah searah dengan sumbu x negatif.
Ke belakang 1 langkah
Ke belakang 1 langkah
Ke depan 2 langkah
Ke belakang 3 langkah
Ke depan 2 langkah
kita misalkan bahwa x = 0 adalah posisi diam si anak.
Anak panah yang pertama di atas garis bilangan menunjukkan, langkah pertama si
anak sejauh 2 langkah ke depan (mengarah ke sumbu x positif), anak panah kedua
menunjukkan 3 langkah si anak ke belakang (mengarah ke sumbu x negatif) dari
posisi akhir langkah pertama, demikianlah seterusnya sampai akhirnya si anak
berhenti pada langkah ke 5.
Jadi, kita dapat melihat pergerakan akhir si anak dari posisi awal adalah 1 langkah
saja ke belakang (x = –1). Banyak langkah yang dijalani si anak merupakan konsep
nilai mutlak, karena kita hanya menghitung banyak langkah, bukan arahnya. Banyak
langkah selalu dinyatakan dengan bilangan bulat positif walaupun arahnya ke arah
sumbu x negatif. Banyak langkah dapat dinyatakan dengan nilai mutlak dari sebuah
bilangan bulat. Misalnya mundur 3 langkah dinyatakan dengan harga mutlak negatif
3 (|-3|). Sehingga banyak langkah anak tersebut adalah |2| + |-3| + |2| + |-1| + |-1| = 9
(9 langkah).
menyelesaikan persamaan nilai mutlak
Nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya. Ini berarti |x| = 5 memiliki dua selesaian, karena terdapat dua bilangan yang jaraknya terhadap 0 adalah 5: x= –5 dan x = 5 (perhatikan gambar berikut).
Konsep ini dapat diperluas untuk situasi yang melibatkan bentuk-bentuk aljabar yang berada di dalam simbol nilai mutlak, seperti yang dijelaskan oleh sifat berikut.
Sifat Persamaan Nilai Mutlak
Jika X merupakan suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| = k akan mengimplikasikan X = –k atau X = k.
Seperti yang dinyatakan dalam sifat persamaan nilai mutlak, sifat ini hanya dapat diterapkan setelah kita mengisolasi simbol nilai mutlak pada satu ruas. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 = –13.
Pembahasan Pertama, kita isolasi nilai mutlak, yaitu membuat simbol nilai mutlak berada pada satu ruas sedangkan suku-suku lainnya kita letakkan di ruas yang lain.
Sekarang perhatikan bahwa x – 7 merupakan “X” pada sifat persamaan nilai mutlak, sehingga
Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikan bahwa himpunan selesaiannya adalah {4, 10}.
Catatan Untuk persamaan seperti pada contoh 1 di atas, hati-hati untuk tidak memperlakukan simbol nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Persamaan –5(x – 7) + 2 = –13 hanya memiliki selesaian x = 10, dan tidak memiliki selesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x – 7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua selesaian.
Persamaan nilai mutlak dapat muncul dari berbagai bentuk. Tetapi dalam menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak.
Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Tentukan himpunan selesaian dari persamaan: |5 – 2/3 x| – 9 = 8.
Pembahasan Dengan mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak, kita mendapatkan
Sehingga, himpunan selesaian dari persamaan tersebut adalah {–18, 33}.
Untuk beberapa persamaan, seringkali kita membutuhkan sifat perkalian persamaan nilai mutlak untuk menyelesaikannya.
Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak
Jika A dan B adalah bentuk-bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.
Perhatikan bahwa jika A = –1 maka menurut sifat tersebut |–B| = |–1||B| = |B|. Secara umum, sifat tersebut berlaku untuk sembarang konstanta A.
Contoh 3: Menggunakan Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak
Tentukan selesaian dari persamaan: |–2x| + 5 = 13.
Pembahasan Seperti pada contoh-contoh sebelumnya, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru dapat mengaplikasikan sifat-sifat persamaan nilai mutlak.
Diperoleh selesaian dari persamaan tersebut adalah x = –4 atau x = 4.
by yos3prens
Pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep dasar dari sifat persamaan nilai mutlak. Persamaan |x| = 5 meminta kita untuk menentukan semua bilangan x yang memiliki jarak 5 dengan titik 0, sedangkan pertidaksamaan |x| < 5 meminta kita untuk menentukan semua bilangan x yang memiliki jarak kurang dari 5 dengan titik 0.
Seperti ilustrasi dari gambar di atas, selesaian dari pertidaksamaan |x| < 5 adalah x > –5 dan x < 5, yang juga dapat dituliskan ke dalam pertidaksamaan gabungan –5 < x < 5. Ilustrasi ini dapat digunakan untuk membangun konsep sifat pertidaksamaan nilai mutlak berikut.
Sifat I: Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Jika X adalah suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| < k akan mengimplikasikan –k < X < k.
Contoh: Pertidaksamaan Nilai Mutlak “Kurang Dari”
Tentukan himpunan selesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan: |3x + 2|/4 ≤ 1 dan |2x – 7| < –5.
Pembahasan Untuk menyelesaikan pertidaksamaan |3x + 2|/4 ≤ 1, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak di satu ruas.
Sehingga, himpunan selesaian dari pertidaksamaan |3x + 2|/4 ≤ 1 adalah { x | –2 ≤ x ≤ 2/3, x bilangan real}. Selanjutnya, perhatikan pertidaksamaan |2x – 7| < –5. Karena nilai mutlak dari setiap bilangan adalah positif atau nol, maka himpunan selesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah himpunan koson
1. Persamaan Linear
Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear karena jika kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus. Sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena dalam sistem tersebut mempunyai satu variabel. Bentuk umum untuk persamaan linear satu variabel yaitu y=mx+b yang dalam hal ini konstanta m menggambarkan gradien garis serta konstanta b adalah titik potong garis dengan sumbu-y.
Jika dalam sistem persamaan linear terdapat dua variabel maka sistem persamaannya disebut sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai bentuk umum Ax+By+C=0 dimana bentuk umum ini mempunyai bentuk standar ax+by=c dengan konstanta ≠0.
Dalam mencari titik potong suatu gradien kita gunakan rumus sebagai berikut :
Titik potong dengan sumbu x maka
Titik potong dengan sumbu y maka
Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk umum :
dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk yang lainnya sampai variabel ke-n.
Untuk lebih memahami masalah persamaan linera perhatikan contoh berikut :
1. Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah termasuk persamaan linear atau bukan.
a. x + y = 5 (persamaan linear dua variabel)
b. x2 + 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)
c. p2 + q2 = 13 (persamaan kuadrat dua variabel)
d. 2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)
2. Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Jawab ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6 | x 1 | –> 2x – y = 6 – ………*
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8
2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}
Jawab ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6 | x 1 | –> 2x – y = 6 – ………*
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y = 8
2x – y = 6 | x 2 | –> 4x – 2y = 12 + ……*
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}
3. Selesaikan soal no 2 menggunakan cara substitusi
Jawab :
Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}
4. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 – ( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 – ( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-
2. Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :
ax+by>c
ax+by<c
ax+by≥c
ax+by≤c
dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .
Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :
1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan
2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.
3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.
4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.
Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh berikut :
contoh 1.
contoh 2.
contoh 3.
Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x, y anggota bilangan real.
–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
Penyelesaian :
Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan dan gambarkan pada bidang koordinat
Selanjutnya uji titiknya untuk menentukan daerah penyelesaian. Dapat dengan cara substitusi atau dengan garis bilangan. Pada contoh kali ini menggunakan substitusi misalkan kita pilih titik (0,12)
Setelah titk tersebut disubstitusi menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah penyelesaiannya berlawanan dengan daerah yang mengandung titik (0,12).
Dengan cara yang sama untuk persamaan yang lain telah kita peroleh grafik sebagai berikut.
Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang terkena seluruh arsiran, yaitu :
