MATERI, MEDIA DAN PEMBELAJARAN
BILANGAN RASIONAL
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Mata pelajaran matematika adalah mata pelajaran yang isi muatannya berkaitan dengan hitung menghitung. Matematika juga merupakan salah satu ilmu yang universal dan menjadi dasar bagi pengembangan ilmu pengetahuan lainnya. Sebagai ilmu yang universal, matematika mendapatkan tempat yang strategis dalam struktur kurikulum pendidikan ditanah air, utamanya pada pendidikan dasar dan menengah, yakni sebagai mata pelajaran wajib dalam kelompok mata pelajaran Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (PP 19 tahun 2005, pasal 7 ayat 4). Sebagai mata pelajaran dalam rumpun tersebut, mata pelajaran matematika bagi peserta didik pada jenjang pendidikan dasar berguna untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis dan kreatif serta kemampuan bekerjasama .
Keadaan ini menuntut setiap orang baik itu anak-anak ataupun dewasa hingga tua sekalipun harus teliti dalam berhitung. Tujuannya adalah agar tidak terjadi kesalahan dalam proses menghitung yang berakibat fatal. Orang yang mahir matematika bukan berarti karena kebetulan. Untuk menguasai materi matematika di syaratkan mengetahui dan menguasai kajian dasarnya. Selanjutnya dia sering berlatih dengan soal-soal yang berkaitan dengan apa yang sedang di pelajarinya. Sehingga dia bisa menguasai secara benar teori, konsep dan penerapannya untuk mempelajari salah satu disiplin ilmu ini. Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan tersebut, dalam makalah ini di cantumkan uraian singkat tentang bilangan rasional.
B. RUMUSAN MASALAH
Dari latar belakang di atas, didapat rumusan masalah sebagai berikut :
A. Apa yang dimaksud dengan bilangan rasional?
B. Bagaimana sifat-sifat bilangan rasional?
C. Bagaimana operasi pada bilangan rasional ?
C. TUJUAN
Dari rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut :
A. Mengetahui apa yang dimaksud dari bilangan rasional
B. Mengetahui sifat-sifat bilangan rasional
C. Mengetahui bagaimana operasi bilangan rasional
BAB II
PEMBAHASAN
A. Bilangan Rasional
Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b masing –masing merupakan anggota himpunan bilangan bulat. bilangan, a disebut pembilang (numerator) atau pengatas dan b disebut penyebut (denumerator) atau pembawah.Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q.
Contoh Bilangan-bilangan rasional 1/5, 1/3, 3/2, 22/7, 56/10, …, a/b… disebut bilangan-bilangan rasional pecahan biasa atau sering disebut pecahan biasa. Bilangan-bilangan rasional 2 1/2, 4 2/3, 7 5/6, 15 1/9, … a/b disebut bilangan-bilangan rasional pecahan sempurna atau sering disebut pecahan campuran. Operasi bilangan rasional meliputi pengurangan, perkalian, dan pembagian yang memiliki sifatnya masing-masing
Bilangan rasional bisa dinyatakan dalam pecahan atau bilangan desimal. Mungkin beberapa orang berpikir bahwa bilangan desimal itu selalu ada tanda komanya. Padahal tidak selalu demikian. Penulisan bilangan tunggal seperti 9 juga merupakan sistem penulisan desimal. Tanda koma pada bilangan desimal dipakai untuk hasil pembagian dua buah bilangan yang masih memiliki sisa atau untuk keperluan penulisan angka penting dan ketelitian .
v Kesamaan Bilangan Rasional : Bilangan-bilangan rasional adalah sama ditulis jika dan hanya jika ad=bc. |
B. Macam-macam bilangan rasional
Apabila kita mengatakan bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakub bilangan-bilangan lain seperti: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.
a) Moh. Syamsul hidayat dalam bukunya yang berjudul solusi matematika lengkap membagi bilangan rasional kedalam dua kelompok :
Pertama bilangan pecahan, dan yang kedua bilangan bulat. Sedangkan bilangan bulat tersebut terbagi lagi menjadi bilangan bulat negatif dan bilangan cacah. Selanjutnya bilangan cacah mencakup di dalamnya bilangan asli( baik ganjil ataupun genap) dan nol. Terakhir dia menggolongkan bilangan asli itu menjadi bilangan prima dan bilangan komposit.
b) Macam-macam bilangan :
Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut.Bentuk pokoknya adalah /b, dengan
a = pembilang ( merupakan bilangan bulat )
b = penyebut ( merupakan bilangan asli )
a = pembilang ( merupakan bilangan bulat )
b = penyebut ( merupakan bilangan asli )
c) Adapun jenis bilangan pecahan yaitu :
1) Bilangan bulat adalah semua bilangan yang terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3,...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat juga sering di devinisikan sebagai bilangan yang bukan pecahan, yang meliputi ; bilangan bulat positif (bilangan asli 1,2,3…., dst), bilangan nol yaitu 0, dan bilangan bulat negatif ( bilangan yang nilainya berlawanan dengan bilangan bulat positif; 1,2,3,4….., dst)
2) Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Sehingga dapat di simpulkan bahwa bilangan cacah merupakan bilangan bulat positif yang di awali dari angka nol. Dalam matematika, terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}.
3) Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
4) Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.
C. Bilangan Rasional dan Operasinya
Ø Penjumlahan dan Pengurangan
Jikadan adalah sebarang dua bilangan rasional, maka bentuknya :
+ = dan - = |
maka
- = = = |
Sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional mempunyai beberapa kesamaan dengan sifat-sifat dalam penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat ,yaitu:1. Penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional bersifat tertutup:
+ dan - adalah bilangan rasional
2. Penjumlahan bilangan rasional bersifat komutatif:
+ = +
3. Penjumlahan bilangan rasional bersifat asosiatif :
+ ( + ) = ( + ) +
4. Penjumlahan pada bilangan rasional mempunyai unsur identitas yang
tunggal ,yaitu 0
5. Setiap bilangan rasional mempunyai invers terhadap penjumlahan ,yaitu
untuk setiap bilangan rasional ,ada bilangan rasional - ( )
Sehingga: + (- ) = (- ) + ( ) = 0
Inversterhadap penjumlahan disebut lawan
6. Penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional adalah tunggal.
7. Jika r 0 ,maka + =
Ø Perkalian dan Pembagian
Jika dan adalah sebarang dua bilangan rasional,maka
x = dan : =
Contoh:
Perkalian: x = = =
Pembagian: : = = =
Sifat-sifat operasi perkalian dan pembagian bilangan rasional adalah sebagai berikut:Jika , , dan adalah bilangan-bilangan rasional ,maka
1. Perkalian pada bilangan rasional bersifat tertutup :
x adalah bilangan rasional ,sedangkan operasi pembagiannya tidak
bersifat tertutup sebab pembagian dengan 0 tidak didefinisikan sehingga
pembagian bilangan rasional tidak selalu menghasilkan bilangan
rasional.
2. Perkalian pada bilangan rasional bersifat komutatif:
x = x
3. Perkalian pada bilangan rasional bersifat asosiatif:
x ( x ) = ( x ) x
4. Perkalian pada bilangan rasional mempunyai unsur identitas yang tunggal ,yaitu
1 sehingga x 1 = 1 x = ( 1 adalah bilangan rasional karena dapat dinyatakan
sebagai pecahan dengan X 0 )
5. Kecuali 0 , semua bilangan rasional yang lain mempunyai invers terhadap
perkalian ,yaitu:
x = x = 1 ,berarti dan saling invers.
- Invers terhadap perkalian disebut kebalikan
6.Perkalian sebarang bilangan rasional dengan 0 adalah 0 ,yaitu:
x 0 = 0 x = 0
7.Perkalian bilangan rasional adalah tunggal.
8.Pada bilangan rasional berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
,yaitu: x ( + ) = ( x ) + ( x ) dan ( + ) x = ( x ) + ( x )
D. Contoh-contoh Cara Mengubah Bilangan Pecahan yang termasuk dalam bilangan Rasional
ü Mengubah Pecahan menjadi Bilangan Desimal
Secara umum mengubah pecahan menjadi bilangan desimal dilakukan dengan cara pembagian bersusun. Untuk pecahan dengan penyebut yang membagi habis bilangan kelipatan 10, cara mengubahnya menjadi bentuk desimal cukup mudah dilakukan, yaitu dengancara mengalihkan pembilang dan penyebut dengan suatu bilangan yang menyebabkan penyebutnya menjadi bilangan kelipatan 10. Penyebut yang merupakan kelipatan bilangan 10 tersebut menunjukan banyak angka yang terdapat dibelakang, bilangan desimalnya. Perhatikan contoh berikut ini :
= x = = 0,6
Pecahan diatas memiliki penyebut 5 yang membagi habis bilangan kelipatan 10. Untuk menghasilkan bilangan kelipatan 10 pada penyebut kita perlu mengalihkan bilangan 5 tersebut dengan bilangan 2.Menurut konsep kesamaan pecahan, kita kalikan juga pembilang pecahannya dengan bilangan 2 sehingga diperoleh pecahan . Seperti sudah dijelaskan diatas bahwa kelipatan 10 pada penyebut menunjukan banyak angka dibelakang koma. Karena 10 itu merupakan kelipatan ke-1 dari 10 maka banyak angka dibelakang koma pada bilangan desimalnya sebanyak 1 angka. Pembilang dari pecahan tersebut adalah bilangan 6 (1 angka). Karena pembilangnya hanya mengandung 1 angka maka bilangan ini satu-satunya yang menjadi angka dibelakang koma setelah nol koma (0,). Hasil koma didepan disebabkan karena pembagian 3 oleh 5 hasilnya kurang dari 1. Penulisan nol koma ini kadang ditulis hanya dalam koma diikuti bilangan dibelakangnya saja. Bilangan desimal 0,6 dalam beberapa penulisan hanya ditulis dalam bentuk ,6 saja.
Contohnya :
1. ¼ = ¼ x 25/25 = 25/100= 0,25
2. 1/8 = 1/8 x 125/125=125/1000= 0,125
3. 1/16= 1/16 x 625/625= 625/10000= 0.0625
4. 1/20=1/20x5/5=5/100=0,05
ü Mengubah bilangan desimal menjadi pecahan
Bilangan desimal merupakan bilangann rasional ada dua jenis, yaitu bilangan desimal dengan banyak angka berhingga di belakang koma dan bilangan desimal dengan bilangan berulang di belakang koma. Cara mengubah kedua bentuk bilangan desimal tersebut sangat berbeda. Berikut ini adalah caranya:
Mengubah bilangan desimal dengan banyak angka berhingga di belakang koma cukup mudah dilakukan dengan cara membuat bilangan desimal menjadi pecahan dengan penyebut bilangan kelipatan 10. Banyak angka di belakang koma merupakan kelipatan 10 yang dituliskan sebagai penyebut dan pembilangnya yang merupakan bilangan dibelakang koma tanpa tanda koma dan tanpa nol di depanya.
Contohnya:
1. 0,4= 4/10=2/5
2. 0,06=6/100=3/50
3. 0,0015=15/10000=3/2000
Ø Mengubah bilangan desimal dengan bilangan beruang
Mengubah bilangan desimal dengan bilangan berulang dapat diselesaikan dengan cara memisalkan bilangan desimal tersebut terlebih dahulu menjadi suatu peubah. Kemudian mengalikan peubah tersebut dengan bilangan kelipatan 10 sebanyak angka pada bilangan berulangnya. Setelah itu kurangkan keduanya sehingga kita memperoleh bentuk pecahan.
Contoh:
v kita ubah bilangan desimal 0,333... Menjadi pecahan.
Misalkan bilangan desimal 0,333...=p
Karena perulanganya satu-satu kita kalikan dengan 10
10p= 3,333...
10p – p=3,333...-0,333...=3
9p=3
P=3/9=1/3
v Kita ubah bilangan desimal 0,252525... Menjadi pecahan.
Misalkan bilangan desimal 0,252525...=p
Karena perulanganya dua-dua kita kalikan p dengan 100
100p=25,252525...
100p – p=25,252525...-0,252525...=25
P=25/99
ü Operasi bilangan rasional berbentuk desimal
Operasi penjumalahan (dan pengurangan) pada bilangan rasional berbentuk desimal dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan operasi penjumalahan (dan pengurangan) pada bilangan bulat. Tapi ada aturan tertentu apabila bilangan desimal yang di jumlahkan (atau dikurangkan) mengandung tanda koma. Pada saat menjumlahkan (atau mengurangkan) dua bilangan desimal, posisi tanda koma harus sejajar dan banyak angka di belakang koma pada masing-masing bilangan desimal harus sama. Jika banyaka nagka di belakang koma tidak sama pada kedua bilangan maka jadikan banyaknya sama dengan cara menambahkan bilangan nol dibelakangnya hingga kedua bilangan desimal memiliki banyak angka sama di belakang koma.
Contoh:
1. 1+ 1,02 = 1,00 + 1,02 = 2,02
2. 0,005 + 0,5 = 0,005 _+0,500= 0,505
3. 2,24 + 1,8 = 2,24 + 1,80 = 4,04
4. 3,14 -2,7= 3,14 – 2,70 =0,44
Perkalian (dan pembagian) dua bilangan desimal dilakukan dengan cara yang sama dengan perkalian (dan pembagian) pada bilangan bulat. Untuk bilangan desimal yang mengandung koma, hasil perkalianya (atau pembagianya) diperoleh dengan aturan tertentu untuk bilangan desimal dengan banyak angka berhingga di belakang koma, cara mengalikanya adalah dengan mengalikan kedua bilangan tersebut (tanda koma) kemudian banyak angka di belakang koma pada hasil perkaliannya sama dengan jumlah banyaknya angka di belakang koma dari kedua bilangan yang dikalikan. Sedangkan untuk pembagian bilangan desimal yang memiliki banyak angka berhingga di belakang koma adalah dengan membagi kedua bilangan (tanpa tanda koma) kemudian letak tanda koma pada hasil pembagianya ditentukan oleh hasil pengurangan banyak angka dibelakang koma pada pembilang oleh banyak angka dibelakang koma pada penyebut. Kalau hasil pengurangan positif berarti tanda komanya maju sedangkan hasil penguranganya negatf berti tanda komanya mundur. Kalau tanda komanya mundur dan mentok, tambahkan bilangan nol di belakangnya . Untuk bilangan desimal dengan bilangan berulang di belakangnya, bilangan berulang tersebut dianggap sebagai banyak angka di belakang koma.
Contoh:
1. 1,2 x 0,05 =?
Kalikan terlebih dahulu 12 dengan 5
12 x 5 = 60
Angka dibelakang koma pada hasil perkalianya sebanyak 3 angka
Diperoleh dari jumlah banyaknya angka di belakang koma pada kedua bilangan yang dikalikan.
Berarti hasilnya 0,060 = 0,06
1,2 x 0,05 = 0,06
2. 6,3/0,18 = ?
Bagi terlebiih dahulu kedua bilangan tanpa tanda koma
63/18 = 3.5
Lalu pindahkan tanda komanya dengan aturan yangsudah dijelaskan . Banyak angka dibelakang koma pada pembilang dikurangi banyak angka dibelakang koma pada penyebut = 1- 2 = -1.
Karena hasil penguranganya negatif berarti tanda koma mundur satu angka.
Diperoleh hasil 35,0 = 35
6,3/ 0,18 = 35
ü Operasi bilangan Rasional berbetuk Pecahan
Cara menyelesaikan masalah penjumlahan (dan pengurangan) pecahan ,jadikan penyebutnya sama. Kalau pecahannya dijumlahkan dengan bilangan desimal , jadikan terlebih dahulu bilangan desimal tersebut menjadi pecahan.
Perkalian pecahan dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dan penyebut.kalau perkalian pecahan dengan bilangan desimal, kalikan saja bilangan desimal tersebut hanya dengan pembilangnya.
E. Media Pembelajaran Bilangan Rasional
Media yang bisa dijadikan dalam menyelesaikan suatu masalah dalam bilangan rasional dapat kita menggunakan benda nyata seperti penggaris, atau benda yang konkret dan abstrak.
-contoh gambar yang dapt digunakan yaitu :
PEMETAAN KOMPETENSI DASAR (KD)
DAN INDIKATOR
KELAS | KOMPETENSI DASAR | INDIKATOR | MEDIA |
3 | 3.3 Memahami konsep pecahan sederhana menggunakan benda-benda yang konkrit/gambar, serta menentukan nilai terkecil dan terbesar 3.4 Mengenal pecahan dan bilangan desimal, serta dapat melakukan penambahan dan pengurangan pecahan berpenyebut sama | 3.3.1 Menyebutkan lambang pecahan biasa berdasarkan gambar. 3.3.2 Menentukkan pecahan biasa sebagai bagian dari sesuatu yang utuh dengan benar. 3.3.3 Menulis lambang pecahan biasa berdasarkan gambar. 3.3.4 Mewarnai gambar berdasarkan lambang bilangan pecahannya. 3.3.5 Menyajikan nilai pecahan biasa dengan menggunakan berbagai bentuk gambar. 3.3.6 Mengurutkan pecahan dari terkecil ke terbesar atau sebaliknya. 3.4.1 Membaca bilangan desimal. 3.4.2 Menulis lambang bilangan desimal. 3.4.3 Mengubah bilangan pecahan biasa menjadi bilangan desimal. 3.4.4 Menentukan bilangan pecahan biasa dan bilangan desimal yang senilai. 3.4.5 Menyelesaikan soal pecahan biasa yang diubah ke dalam desimal. 3.4.6 Membandingkan pecahan yang berpenyebut sama (lebih besar atau lebih kecil). 3.4.7 Menyelesaikan soal penjumlahan pecahan biasa yang berpenyebut sama. 3.4.8 Menyelesaikan soal pengurangan pecahan biasa yang berpenyebut sama. 3.4.9 Menyatakan kalimat pernyataan sehari-hari dengan penjumlahan pecahan. |
KELAS | KOMPETENSI DASAR | INDIKATOR | MEDIA |
4 | 3.1 Mengenal konsep pecahan senilai dan melakukan operasi hitung pecahan menggunakan benda kongkrit/gambar 3.7 Menentukanhasil operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal | 3.1.1 Menjelaskan operasi penjumlahan bilangan desimal dan persen 3.1.2Menjelaskan operasi pengurangan bilangan desimal dan persen 3.1.3 Mengoperasikan penjumlahan bilangan desimal dan persen 3.1.4 Mengoperasikan pengurangan bilangan desimal dan persen 3.7.1 Menjelaskan konsep operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan persen dan desimal 3.7.2 Menjelaskan langkah-langkah operasi penjumlahan danpengurangan bilangan desimal 3.7.2 Menyelesaikan soal tentang operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan desimal |
KELAS | KOMPETENSI DASAR | INDIKATOR | MEDIA |
5 | 3.2 Memahami berbagai bentuk pecahan (pecahan biasa, campuran, desimal dan persen) dan dapat mengubah bilangan pecahan menjadi bilangan desimal, serta melakukan perkailan dan pembagian | 3.2.1 Mengenal bentuk pecahan biasa 3.2.2 Mengenal bentuk pecahan campuran 3.2.3 Mengenal bentuk pecahan desimal 3.2.4 Melakukan operasi perkalian berbagai bentuk pecahan 3.2.5 Melakukan operasi pembagian pecahan 3.2.6 Melakukan operasi pengurangan dan penjumlahan dua pecahan 3.2.7 Mengenal sebuah pecahan sebagai hasil perkalian atau pembagian dua buah pecahan 3.2.8 Mengenal pecahan sebagai hasil perkalian atau pembagian dua buah pecahan dalam desimal dan persen 3.2.9 Menyelasaikan soal cerita berkaitan dengan pecahan sebagai hasil perkalian atau pembagian dua buah pecahan yang dinyatakan dalam desimal dan persen dengan berbagai kemungkinan jawaban. |
KELAS | KOMPETENSI DASAR | INDIKATOR | MEDIA |
6 | 3.1 Memahami operasi hitung yang melibatkan berbagai bentuk pecahan (pecahan biasa, campuran, desimal dan persen) 3.2 Memahami perbandingan senilai dan perbandingan terbalik | 3.1.1 Menentukan hasil operasi hitung yang melibatkan berbagai bentuk pecahan. 3.1.2Menyelesaikan soal cerita pecahan (biasa/campuran, desimal, dan persen) menggunakan operasi hitung penjumlahan,pengurangann, perkalian, dan pembagian secara benar. 3.2.3 Menentukan hasil operasi hitung perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai. 3.2.4 Mengomunikasikan dengan kalimat sendiri penyelesaian soal pemecahan masalah tentang perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai. 3.2.5 Menemukan operasi hitung yang melibatkan pecahan. Memecahkan masalah yang melibatkan perbandingan senilai. |
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan p dan q adalah bilangan-bilangan bulat dan q≠0. Sedangkan bilangan irasional bukan merupakan bilangan bulat dan juga bukan bilangan pecahan. operasi-operasi yang terjadi pada bilangan rasional adalah penjumlahan,pengurangan,perkalian,pembagian.
B. Saran
Diakhir pembuatan makalah ini penulis menyarankan kepada pembaca khususnya dan kepada semua pada umumnya untuk mempelajari matematika dengan baik, agar tidak terjadi kesalahan penanaman konsep matematika yang diberikan kepada siswa SD. Penulis juga menyarankan kepada semua agar tidak menganggap matematika adalah pelajaran yang sulit karena matematika merupakan salah satu ilmu yang dibutuhkan dan digunakan untuk pemecahan masalah sehari-hari.
DAFTAR PUSTAKA
Kusuma, Irwan. 2005. Rahasia Matematika Untuk Sd kelas 4-5-6. Jakarta : Grafika Mulia
Hidayat,Syamsul. 2007. Solusi Matematika Lengkap Untuk Sd kelas 3,4,5,6 Surabaya: APOLO
